Gunterscales K en B

De voorzijde van een gunterscale wordt soms ‘plane scale’ of plain scale genoemd. Engelse pleinschalen worden echter meestal ‘gunterscales’ genoemd, naar de Engelse uitvinder van de logaritmische schaalverdeling, Mr. Edmund Gunter, omstreeks 1620. Gunterscales zijn op de achterzijde voorzien van logaritmische goniometrische schalen, gunterlines.
De gunterscales K en B dateren vermoedelijk uit eind 18e eeuw. Een merkteken ontbreekt. De afbeeldingen behoren bij gunterscale K.
De maatverdeling is opgemeten in mm, met liniaal en loupe. De opmeting is tot ca. 0,5 mm nauwkeurig. Deze  maten zijn vergeleken met de berekende maten. Op een enkele uitzondering na (met betrekking tot gunterscale B) is de maatvoering in overeenstemming met de berekende maten.
Behalve gunterscales werden in Engeland ook ‘sectors’ gebruikt,  bestaande uit 2 gelijke beweegbare linialen, met een bout scharnierend verbonden en schaalverdelingen overeenkomend met die van gunterscales (‘A new and complete epitome of practical navigation’, John William Norie, 1839, London).
Sectors hebben het voordeel dat deze geheel opengeklapt kunnen worden en de helft korter kunnen zijn (6 of 12 inch).

Voorzijde

Voorzijde Gunterscale K
De voorzijde van Gunterscale K met lineaire en goniometrische functies
Gunterscale detail voorzijde
Een detail van de voorzijde van Gunterscale K

Detail voorzijde GunterscaleRegel 1: ‘line of lines’, linie van de gelijke vakken. De gebruikelijke aanduiding  ‘Lin’ komt op  gunterscale K en B niet voor. Langs de bovenrand is over de gehele lengte een verdeling van rechts naar links en omgekeerd in 24 gelijke vakken van inches, genummerd 1-24. Elk vak (inch) is in 10 delen verdeeld. Van vak 12-24 is een verdeling in 10 horizontale stroken, met links een half vak en daarin 10  transversalen en rechts een dito heel vak. De nummering van de halve vakken (elk van ½ inch tussen de transversalen is van links naar rechts 1-19.
De opgemeten lengte van gunterscale K en B is resp. ca. 608 en 609 mm, de voorzijde is ca. 40 mm breed en de achterzijde resp. ca. 45 mm en  42 mm.
De berekende lengtematen zijn onderstreept.
1 Engelse inch is 25,4 mm. De lengte van 24 inches of 2 feet is dus 609,6 mm. Vermoedelijk zijn de gunterscales na verloop van tijd ruim 0,5 mm gekrompen. Voor de berekeningen is uitgegaan van de lengte van 609,6 mm (2 feet), met als lengte van een vak 25,4 mm (1 inch).
De linie van gelijke vakken wordt gebruikt om lijnstukken af te passen en verhoudingen van bijv. kaartschalen te bepalen.

Regel 2 (rechts) ‘Lea’, ( leagues)  is rechts op gunterscale K vanaf vak 11 van links naar rechts tot vak 1 verdeeld in 20 gelijke vakken van ½ inch, elk 10 eenheden, genummerd 200-0 en rechts van 1-0 nog een eenheid onderverdeeld in 10 delen om nauwkeurig te kunnen afpassen. Op de schaal van de leagues is 10 leagues ½ inch of 12,7 mm. 1 League is dus 1,27 mm. Op gunterscale B is de verdeling van rechts naar links en overigens identiek. 
De nautical sea league, meestal afgekort met ‘NL’, is 3 Engelse zeemijl of 5559,552 m.
1 Graad op de equator is 20 leagues.
De admirality mile/engelse zeemijl van 60 mijl in een graad, afgekort ‘nm’, ‘sm’,  is 1853,184 m. De Engelse zeemijl  werd algemeen gebruikt. Vanaf 1929 is hiervoor in de plaats gekomen de nautical mile van 1852 m of 1 minuut booglengte.
Op beide gunterscales komen 2 koordenschalen voor, een met een radius van 2 inch en een van 3 inch. Tussen de radius en de maatverdeling van de linie van gelijke vakken bestaat een verband. Op Nederlandse pleinschalen heb ik dit verband niet aangetroffen.
In ‘The Works of James Ferguson, F.R.S.’, 1823, vol. V, blz. 305 is vermeld, dat de radius van de goniometrische functies op Engelse pleinschalen 2 en 3 inch is. De radius van 2 inch en van 3 inch is gelijk aan 1.000 eenheden.

Regel 3 (rechts) ‘Rum’ is de koordenschaal van de 8 rhumbs/streken vanaf rechts 8 naar links 0 met een lengte van 107,76 mm. De radius is 3 inch (76,2 mm).  De lengte van de koorden van de streken is als volgt: 14,94; 29,73; 44,24; 58,32; 71,84; 84,67; 96,68; 107,76 mm (zie tabel 2). Op streek 0 is een voetpunt voor een kaartpasser. 1 Streek is 11 ¼ o.
In het midden zijn vanaf vak 12 van de inches de volgende schalen aangebracht:

Regel 3 (midden, vanaf vak 12 van de inches) ‘Rum’: betreft de rhumbs/streken, dit is de koordenschaal van de 8 points/streken van streek 1 (11,15o) tot streek 8 (90o). De radius is 2 inch (50,8 mm). De lengte van de koorden van de streken vanaf 0o  is resp. 9,96; 19,81; 29,51; 38,86; 47,90; 56,44; 64,47; 71,80 mm (zie tabel 2). Op 0o is een voetpunt.

Op regel 3 van de koordenschaal van de streken ’Rum’ is rechts daarvan een schaal ‘L’  van mijlen in vakken van 10 tot 100 mijl (gunterscale K), met links van 0 nog een vak onderverdeeld in 10 delen (van 1 mijl of league) om nauwkeurig af te kunnen passen. 1 mijl ‘L’ is volgens opmeting ca. 0,844 mm. De verhouding is 3 mijl ‘L’ = 2 league ‘Lea’ (nl.  10 leagues op ½ inch of 12,7 mm). De schaal van ‘L’ is dus 10 mijl op 1/3 inch of 8,466 mm. De verhouding 3 : 2 correspondeert met die van de radii. Op 100 mijl is een voetpunt.

Regel 4 (midden) ‘Cho’: betreft de chords/koorden van de hoeken van 0o-90o. De radius is 2 inch of 50,8 mm. De berekende lengte van de koordenschalen is √2 x 50,8 mm = ca 71,8 mm. De maatverdeling in tientallen vanaf  0o is resp. 8,84; 17,63; 26,31; 34,75; 42,94; 50,80;  58,27; 65,28; 71,84 mm (zie tabel 2). Voorbeeld: koorde 50is 845,23 : 1000. De lengte op de gunterscale is 0,84523  x 50,8 mm = 42,94 mm. Op 0o is een voetpunt.

Op regel 4 (midden) ’Cho’ van de koorden van de graden  is rechts daarvan een schaal ’P’  van mijlen van 0 tot 10, lengte 50,8 mm, met links van 0 nog een vak van 1 mijl  onderverdeeld in 5 delen (van 1/5 mijl) om nauwkeurig te kunnen afpassen. De lengte van de ‘P’ schaal is gelijk aan de radius van 2 inch. De schaal ’P’ is 1 mijl op 0,2 inch, dit is 5,08 mm. De verschillende schalen van de mijlen (P = 50,8 mm; L = 8,466 mm; Lea = 12,7 mm op 10 mijl) houden verband met de schaal van zeekaarten.

Regel 5 (midden) ‘Sin’: betreft de sinus ‘hoekwaarden’ van 0o-90o. De  maatverdeling vanaf 0o  in tientallen is resp. 8,81; 17,37; 25,40; 32,65; 38,91; 43,99; 47,74; 50,03; 50,80 mm (zie tabel 2). Voor het afpassen van de radius is op 0o  en 90o een voetpunt. De getallen 80 en 90 zijn niet aangegeven.

Op regel 5 (midden) van de sinus is rechts daarvan een schaal ‘S’ (‘Se’ gunterscale B) van 0o (vanaf het voetpunt van de radius of sinus 90o) tot 70o. Het betreft de ‘secant’, die begint waar de sinus van 90o eindigt. Dit is het gedeelte van de secans buiten de radius van 1000 eenheden. Het getal 70 is niet aangegeven.
De maatverdeling in tientallen van 0o-70o  is als volgt: van 0o-10o : 0,78; van 0o-20o: 3,26; van 0o-30o: 7,86; van 0o-40o: 15,51; van 0o-500: 28,23; van 0o-60o: 50,80;  van 0o-70o: 97,73 mm (zie tabel 3). De lengte van 0o-60o is gelijk aan die van de radius van 2 inch of 50,8 mm. Voorbeeld: ‘Se’ 30= 1154,70 – 1000 = 154,70; de radius is 50,8 mm, dus de lengte van ‘Se’ 30o  = (154,70 : 1000) x 50,8 mm = 7,86 mm. De maatverdeling is ook te berekenen uit de vergelijking sinus versus α : cos α.

Regel 4 (rechts) ‘M L’ of ‘Lon’ (Miles of longitude/line of longitudes: geeft het aantal mijlen, oost of west aan dat overeenkomt met 1 graad lengte (longitude) op een bepaalde breedte (latitude). De linie is aangebracht boven de linie van de koorden met een radius van 3 inch en is hierop afgestemd. (‘A treatise on mathematical instruments’, J.F. Heather M.A., 1849)  De lengte van 0-60 mijl is gelijk aan de linie van de koorde van 90o, waarbij 0o overeenkomt met 60 mijl en 90o met 0 mijl (zie regel 5).
Met ‘M L’ wordt het aantal mijlen aangegeven om op een bepaalde breedte, een verschil van 1 lengtegraad  te bereiken. De lengte van 1op de equator is 60 mijl en bijv. op een breedte van 60o  is 1 lengtegraad cos 60 ox 60 mijl = 30 mijl. Deze linie werd gebruikt voor platte kaarten.
De totale lengte van de schaal van 107,76 mm is gelijk aan die van de koordenschaal van de hoeken en streken. De radius is hierbij 3 inch (76,2 mm). De schaal is van rechts (0) tot links (60) verdeeld in mijlen en 10 tallen mijlen als volgt: van 60-50 mijl: 43,99;  van 60-40 mijl: 62,22; van 60-30 mijl: 76,2; van 60-20 mijl: 87,99; van 60-10 mijl: 98,38; van 60-0 mijl: 107,76 mm (zie tabel 1, kolom 6).
Voorbeeld: van 60 mijl (0o)- 50 mijl (33,558o)  is de koorde/lengte R x (2 sin ½ . 33,558 o) = 76,2 mm x 0,5774 = 43,99 mm.
Op 60 (mijl) is een voetpunt. Op Nederlandse pleinschalen komt deze functie niet altijd voor.

Regel 5 (rechts) ‘Cho’: vanaf de rechterzijde is een koordenschaal van de hoeken van rechts 90o tot links 0o, met een opgemeten lengte van ca. 108 mm. Op 0o en 60o is een voetpunt. De radius is 3 inch, dit is 76,2 mm. De lengte van de koordenschaal moet gelijk zijn aan √2 x de radius, dit is √2 x 76,2 mm = 107,76 mm.
De  lengte van de koorden van de hoeken van 0o-90o in tientallen vanaf 0o is als volgt: 13,28; 26,46; 39,44; 52,12; 64,41; 76,20; 87,41; 97,96; 107,76 mm (zie tabel 2).

Regel 6 (midden) ‘Tan’: betreft de tangens van 0o– 80o. De maatverdeling links vanaf 0o naar rechts tot 80o In tientallen is resp. 8,96; 18,49; 29,33; 42,63 60,54; 87,99; 139,57; 288,10 mm (zie tabel 2). Voorbeeld: tangens 60o is 1732,05: hierbij is de lengte (1732,05 : 1000) x 50,8 mm = 87,99 mm. Op 0o  is een gemeenschappelijk voetpunt met regel 7, ‘ST’

Regel 7 (midden) ’ST’ : betreft de semi tangent van 10o-160o. Betreft de tangens van de halve boog/hoek, zodat bijv. ST 100 o overeenkomt met Tan 50 o. De maatverdeling vanaf 10o tot 180 o van de oneven tientallen is resp. 4,44; 13,61; 23,69; 35,57; 50,80; 72,55; 108,94; 189,59 mm.

Achterzijde

Achterzijde Gunterscale K

Detail achterzijde Gunterscale KDe achterzijde is over de gehele lengte in 8 regels/linies verdeeld: (1) SRum, (2) Rum, (3) Num, (4) Sin, (5) STn, (6) Tan, (7) Mer, (8) EP. Op gunterscale B is linie 5 aangeduid met Vs. In verband met de afstand van de kantlijn tot het uiteinde van een gunterscale van 24 inches is de bruikbare lengte voor logaritmeschalen ca. 22 tot 23 inch (zie ‘A complete epitome of practical navigation’, door John William Norie, 1839).

De gekozen schaal van de numerieke logaritmische functie is tevens de schaal van alle  logaritmische functies van de koorden van o.a. de sinus en tangens. Deze schaal of modulus heb ik schaalfactor genoemd.
De schaalfactor is gebaseerd op de lengte van de logaritmische schalen passend binnen de beschikbare ruimte. De opgemeten/berekende schaalfactor/modulus van gunterscale K en B is resp.  ca. 286,6 mm of 11,28346457 inch en 287,05 mm of 11,30118 inch . Het ligt voor de hand dat een (eenvoudiger) schaalfactor is gekozen, gerelateerd aan de inch. Ferguson vermeldt dat de gunterscale (numbers) van 2000 eenheden 22,6 inch lang is (‘The Works of Ferguson‘, blz. 306), zodat 1000 eenheden overeenkomen met 11,3 inch of 287,02 mm. Voor de berekeningen is uitgegaan van de schaalfactor van 11,3 inch of 287,02 mm (zie regel 3, ‘Num). Een andere ‘logische’ schaalfactor zoals 11 ¼ inch (285,75 mm) wijkt te veel af van de hierna opgemeten/berekende schaalfactoren.

Regel 1 ’SR’ (Sine rumbs): betreft de log sinus van de chords/koorden van de points/streken vanaf rechts 8 tot links 1. Log sin 1 is 0,70976. De opgemeten/berekende lengte van streek 1 tot streek 8 is 203,5 mm. De schaalfactor is hierbij 203,5/0,70976 = 286,7. Aangehouden is 287,02, overeenkomstig de schaalfactor van de numerieke logaritmeschaal van regel 3. Op basis hiervan zijn de lengtematen van de koorden van de streken berekend (zie tabel 4). Op streek 8 is een voetpunt.

Regel 2 ‘Rum’, (meestal aangeduid ‘Trumb’: Tangent rumbs): betreft de log tangens van de koorden vanaf rechts  4; 3/5; 2/6 tot links 1/7. De log tangens van de koorde 1/7 is 0,70134. De opgemeten/berekende lengte van streek 1/7 tot streek 4 is 201 mm. De schaalfactor is hierbij 201/0,701,34 =286,6 mm. Aangehouden is 287,02 mm, overeenkomstig de schaalfactor van de numerieke logaritmeschaal van regel 3. Op basis hiervan zijn de koorden van de streken berekend (zie tabel 4).

Regel 3 ‘Num’ (Numberline): betreft 2 opeenvolgende gelijke logaritmische schaalverdelingen van links naar rechts 1-10 en van 10 tot 100, met 10 in het midden van de linie. Op ca. 17,8 mm van de linkerkant is log 1 en op ca. 17 mm van de rechterkant log 10(0) aangegegeven. De opgemeten/berekende lengte van één logaritmische schaal is hierbij (608,0 mm – 34,8 mm) : 2 = 286,6 mm. Van gunterscale B is dit 287,05 mm. Aangehouden is 287,02 mm. Deze lengte komt overeen met log 10. De lengtematen vanaf log 1 tot en met  log 10 zijn berekend door vermenigvuldiging van de log met de factor 287,02.  Log 1: 0; log 2: 86,40;  log 3: 136,94; log 4: 172,80;  log 5: 200,62; log 6: 223,34; log 7: 242,56; log 8: 259,20; log 9: 273,89; log 10: 287,02 mm. De verdeling op de linkerschaal is in 1/10 logdelen; de rechterschaal is in 1/50, 1/25, 1/20 en 1/10 delen. Op gunterscale B ontbreekt deze  onderverdeling in logdelen. Op log 1, log 10 en log 100 is een voetpunt. Log 12 is aangegeven voor berekeningen in voeten en duimen. Op gunterscale B is op log 12 een voetpunt.
Evenals met rekenlinialen, die tot ca. 1970 werden gebruikt, kunnen met behulp van de logartitmische schaal (driehoeks)berekeningen snel worden uitgevoerd. Op  gunterscales worden hiervoor passers gebruikt.

Regel 4 ‘Sin’(Sinesline): betreft de log sinus, vanaf rechts 90o tot links 1o, over de opgemeten/berekende lengte van 503,8 mm. Deze lengte komt overeen met  log sin 1o = 1,75814. De overige waarden kunnen worden gevonden door de log sin te vermenigvuldigen met de schaalfactor 503,8/1,75814 = 286,6. Aangehouden is 287,02 overeenkomstig de schaalfactor van de numerieke logaritmeschaal van regel 3 (zie tabel 4).
De verdeling van 1o-10o is in 10 min.; van 10o-20o in 15 min.; van 20o-40 o in 30 min.; vanaf 40o in graden. Op gunterscale B ontbreekt deze onderverdeling.
Op 90o is een voetpunt.

Regel 5 ‘STn’(Secant): in the Works of James Ferguson is een tabel opgenomen die overeenkomt met de waarden op de gunterscales  B en K. Deze tabel genaamd ‘Gunter’s Line of Versed Sines’ (blz. 299-300) is niet de huidige log sinus versus, maar betreft 2 log secans ½ α (‘The versedsines are double the logatihmic secants of half the given number of degrees’, Ferguson, blz 317). Op gunterscale B is deze regel als ‘Vs’ (Versed sines/versin) aangeduid en betreft eveneens 2 log secans ½ α. De betreffende functie is STn α = secans2 ½ α. De relatie met de sinus versus/versin is de volgende:
Vs hierna ‘STn’ genoemd, kan worden omgezet als volgt: 2 log secans ½ α  = 2 log (1 : cos ½ α). Omdat cos ½ α = +-√½ (1 + cos α) is  STn α = 2 log [(1 :  √½ (1 + cos α)]. Omdat n log x = log xn  is STn α = log [1 : √½ (1+ cos α)]2 = log 2 : (1 + cos α).  [A]
Omdat log x (voor x > 1) gelijk is aan min log 1 : x (voor 1 : x <1)  is STn α =  log 2 : (1 + cos α)  [A] gelijk aan min log ½ (1 + cos α). [B]
Resumerend:  STn α = 2 log secans ½ α = log 2 : (1 + cos α) = – log ½ (1 + cos α). Vergelijking B is afgeleid van STn α = log 1 – ½ versin of log 1 – sin2 ½ α.
½ Versin wordt meestal haversine genoemd.
De versin α <90 o = 1 – cos α en de versin α >90 o = 1 + cos α of 2 sin½ α.
De tafels van de sinus versus en log sinus versus van Joannes Douwes (1776) worden gebruikt bij astronomische plaatsbepaling en azimuthberekeningen.
STn van 165o is volgens de tabel van Ferguson 1,7686. Deze waarde komt overeen met de opgemeten/berekende lengte op gunterscale K van 506,8 mm. De factor waarmee de waarden van STn vermenigvuldigd moeten worden is dus 506,8/1,7686 = 286,6. Op gunterscale B is deze waarde berekend op 286,72. Aangehouden is 287,02 overeenkomstig de schaalfactor van de numerieke logaritmeschaal van regel 3. Op basis hiervan zijn vanaf 0o tot 168o de lengtematen in mm berekend. Voorbeeld: log STn α  = 2 log secans ½ α; log STn 60o= 2 log secans 30o= 2 log 1,15470 =  0,12493; dit is in de tabel 124,93. De lengte is hierbij 287,02 x 0,12493 = 35,86 mm (zie tabel 3).

Regel 6 ‘Tan’( Tangentline); betreft de log tangens vanaf rechts (45o) tot links (1o) over de opgemeten/berekende lengte van 503,8 mm. Deze lengte komt overeen met de waarde van  log tangens 1o = 1,758078. De overige lengtematen kunnen worden gevonden door de log tangens te vermenigvuldigen met de factor 503,8/1,758078 = 286,666. Aangehouden is 287,02 overeenkomstig de schaalfactor van de numerieke logaritmeschaal van regel 3 (zie tabel 4).
Deze tangentline betreft the lower tangent van 45o tot 0o. The upper tangent is van 45o  tot meestal 76o (‘The works of James Ferguson, F.R.S.’, 1823,  vol. V, blz. 308). Op 45is een voetpunt.

Regel 7 ‘Mer’ (line of meriodional parts): betreft de vergrotende/wassende breedte op de meridiaan ten opzichte van de aangegeven lengte van een graad op de equator. Elk vak van 10o is verdeeld in halve graden en vanaf 60o in kwart graden. De schaal loopt van 0o tot 85o Het getal 85 is niet aangegeven. Op 0o is een gemeenschappelijk voetpunt met ‘EP’ en is daaraan gekoppeld. Gebruikt voor zeekaarten met Mercatorprojectie (zie tabel 1). De lengte van het vak van 0 o tot 10o graden is gelijk aan de lengte van het rechter vak van ‘EP’. Deze lengte is 29,842 mm en op gunterscale B ca. 30,33 mm (zie regel 8).
Voorbeeld gunterscale K: Op de breedte van 70o is de wassende breedte 59660 (tienden van minuten): 600 = 99,433o. De lengte op gunterscale K is 99,433 x 2,9842 = 296,7 mm (gemeten 297 mm). De waarden van ‘Mer’ zijn op gunterscale B  gelijk aan die op gunterscale K. Op gunterscale B wijken de opgemeten lengtematen van ‘EP’ echter sterk af van de berekende waarden.

Voorbeelden gunterscale B:
Op de breedte van 70o is de wassende breedte 59660 (tienden van minuten): 600 = 99,433o. De lengte op gunterscale B is 99,433 x 3,033 mm = 301,6 mm (gemeten 296,5 mm).
Op 80 o is de wassende breedte 83753 : 600 = 139,59o. De lengte op gunterscale B is 139,59 x 3,033 mm = 423,37 mm (gemeten 416,5 mm).
Voor ’EP’ 10o is voor gunterscale B aangehouden 29,842 mm, in plaats van 30,33 mm (zie hierna).

Regel 8 ‘EP’ (line of equal/equatorial parts): betreft de lengte van de graden op de equator. Op regel ‘EP’ kan de vergrotende breedte van ‘Mer’ met een passer worden uitgezet, zodat de vergrotende breedte in mijlen ten opzichte van de equator kan worden bepaald. Op soortgelijke wijze kan het verschil in mijlen tussen breedtegraden worden bepaald (‘An introduction to the theory and practice of plane and spherical trigonometry’, door Thomas Keith, 1810).
1o komt overeen met 60 zeemijl of 20 leagues. Er zijn 18 vakken van 10 o, van rechts 0 o -180 o met rechts nog een extra  19e vak, met het gemeenschappelijk voetpunt van ‘Mer’. De lengte van de 19 vakken is ca. 567 mm, zodat een vak van 10o ca. 29,842 mm is.
Op gunterscale B is de lengte van de 19 vakken echter ca. 576 mm, zodat een vak van 10o ca. 30,33 mm is. Deze lengte van 30,33 mm correspondeert niet met de berekende/opgemeten lengte van regel 7.

Regel 7 is juist en regel 8 is op gunterscale B onjuist.
Een verband van ‘EP’ met de mijlenschalen op de voorzijde is niet gevonden.

VOORBEELDEN NEDERLANDSE PLEINSCHALEN

Pleinschaal Symon vande Moolen

Symon vande Moolen vermeldt in ‘Klaare beschrijvingh over het maken en gebruyk der nieuwe pleyn-schaal’, in 1699, dat de pleinschaal werd gebruikt in de ‘astromia, geometria, gnomonica (zonnewijzertechniek), fortificatie, bosschieterij en in het bijzonder in de navigatie.’ Scheepvaartmuseum Amsterdam, inv. nr.  S. 4793; MK-0605.

De pleinschaal is een houten plankje van ongeveer 1 voet lang en 1 ½ duim breed en is verdeeld in 11 gelijke delen en aan elk einde is een deel  ‘van ontrent een duim’ gedeeld in 10 delen en door de schuine strepen in 100 gelijke delen om roeden, voeten, duimen, mijlen enz. af te passen en aan  het andere eind in 60 gelijke delen om minuten af te afpassen.

De afbeelding van de pleinschaal is vanwege de lengte 2 x gevouwen. De lengte van de schaalverdeling is ca. 250 mm, de breedte is ca. 62 mm. De opmetingen zijn op 0,5 mm nauwkeurig. Vermoedelijk is de afbeelding in het boekje op ware grootte afgedrukt. Vanwege de vouwen en de mogelijke krimp van het papier zijn de opmetingen en daarvan afgeleide berekeningen van een beperkte nauwkeurigheid.

Pleinschaal Scheepvaartmuseum Amsterdam
Symon Vande Moolen ‘Klaare beschrijvingh over het maken en gebruyk der nieuwe pleyn-schaal’, 1699 (Scheepvaartmuseum Amsterdam).

Maatverdeling

Bovenste regel: de gelijke delen/vakken. De verdeling is in 22 gelijke vakken, waarvan 13 genummerd. Aan weerszijden zijn enkele vakken met transversalen, links in 100ste delen en rechts in 60ste graden (minuten). De verdeling van de gelijke vakken is te gebruiken om de koers en verheid (afstand) af te passen of om mijlen, graden, roeden of voeten grafisch te bepalen.
De lengte van 1 vak ca. is 250 : 22 = ca. 11,36 mm is. De lengte van de 5 vakken aan de uiteinden is ca. 57 mm, waarbij de lengte van 1 vak 11,4 mm is. Over 10 vakken in het middendeel is als lengte gemeten 113,5 mm, waarbij de lengte van 1 vak 11,35 mm is. Deze lengte is hierna aangehouden. De nummering van de vakken is van 1 tot 13 en in tegengestelde richting van 13 tot 1. De verdeling van de pleinschaal over de gehele lengte is in 22 vakken, in plaats van de door Vande Moolen genoemde 11 delen. De delen zoals Vande Moolen die noemt, van ‘ontrent een duim’, zijn dus ca. 22,7 mm lang. Dit is te klein voor de lengte van een duim (Rijnlands 26,16 mm; Amsterdams 25,74 mm) De maat van de gelijke vakken is vermoedelijk willekeurig.

Regel 1 en regel 2: de vergrotende/wassende breedte is onder de verdeling van de gelijke vakken aangegeven. Regel 1 van 60o tot 83o, regel 2 van 0o tot 64o.
Vande Moolen beschrijft een grafische manier om de vergrotende breedte op een pleinschaal over te brengen. Hierbij wordt de gekozen lengte van een graad (op de equator) afgepast op de halve middellijn/radius van een ‘vierendeel rond’, zoals Vander Moolen een kwartcirkel of kwadrant met een bepaalde radius noemt. De lengte van de lijn die een hoek maakt met de verticaal vanuit een graad op de halve middellijn is de snijlijn/secans of vergrotende breedte van de hoek. In plaats van deze grafische methode is vermoedelijk gebruik gemaakt van de tafels van de wassende breedte. Voor de pleinschaal kan de wassende breedte in 10den van minuten worden omgerekend in mm’ s naar de lengte van 2,91857 mm per graad (zie regel 3). Voorbeeld: wassende breedte 35o is 22443 tienden van minuten, dit is 22443 : 600 = 37,405o De lengte op de pleinschaal is 37,405 x 2,91857 mm = 109,17 mm (zie tabel 1)

Regel 3: betreft de lengteschaal van de graden op de equator van 0o tot 70o . De lengte van het eerste vak van 10 graden is in 10 delen verdeeld van elk 1o, zodat in graden of delen ervan kan worden afgepast. Volgens Vande Moolen is afpassen in 3e, 4e of 5e delen van een graad mogelijk.
Op de pleinschaal komt de lengte van 18 vakken van de maatverdeling van de gelijke vakken overeen met 70 graden lengte op de equator. De lengte van 1 graad op de pleinschaal (of 15 Duitse mijl) is 18 x 11,35 mm : 70 = 2,91857 mm. Een vak van 11,35 mm komt hierbij overeen met 58,3333 Duitse mijl.
Conclusie : Er is geen verband tussen de lengte van de graden en de lengte van de gelijke vakken.

Regel 4: de koorden van de uren van 0 tot 6 uren, elk uur 15o, met een verdeling in kwart uren.

Regel 5: de koorden van de streken van 0 tot 8 streken, elke streek 11 ¼o met een verdeling in kwart streken.

Regel 6: de koorden van 0o tot 90o, met een verdeling in graden.

Regel 7: de hoekmaten (sinuswaarde) van 0tot 90o.

Regel 8: de hoekmaten op streken van 0 tot 8, met een verdeling in kwart streken.

Regel 9: de hoekmaten op uren, met een verdeling in kwart uren.

Regel 4 tot en met regel 9 hebben betrekking op de koordenschaal met een grote radius. De opgemeten lengte van deze radius is 87 mm en van de uren, streken, en koorden 123 mm. De lengte van de uren- streken- en koordenschaal moet zijn √2 x 87 mm of 123,04 mm. De radius komt hierbij overeen met ca. 447,15 Duitse mijl.
De lengte van de radius op de tekening van de pleinschaal valt exact samen met 30 graden op de lengteschaal, waarbij de radius 30 x 2,91857 mm = 87,5571 mm is (in plaats van 87 mm). Hierbij wordt de lengte van de uren- streken- en koordenschaal √2 x 87,5571 mm = 123,8 mm. De radius van 87,5571 mm komt dan overeen met 30 graden of 450 Duitse mijl. In dat geval is er dus een verband tussen de radius en de schaal van de kaart (de lengtegraad op de equator).

Naast deze grote radius van de koordenschaal zijn op de pleinschaal nog 2 verschillende koordenschalen aangegeven, een met een middelbare en een met een kleine radius.
De middelbare radius is 34,5 mm en de lengte van de daarbij behorende uren- streken- en koordenschaal 49 mm. Hierbij is de radius ca. 177 Duitse mijl. Indien wordt uitgegaan van een radius van 35 mm komt de radius overeen met ca. 180 Duitse mijl.
De koordenschaal met de kleine radius is met transversalen van 0o tot 90o en een strekenschaal van 8 streken aangebracht.
De radius van de kleine koordenschaal is 27 mm : √2, dit is 19,09 mm . Hierbij is de radius ca. 98 Duitse mijl. Indien uitgegaan wordt van een radius van 19,5 mm is deze ca. 100 Duitse mijl.
De vermoedelijke verhouding tussen de grote, middelbare en kleine koordenschaal is 450 : 180 : 100 of 7,5 : 3,0 : 1,67. Op andere Nederlandse pleinschalen komt een verhouding voor van 7,5 op 3. De verhoudingen van de radii van de grote en middelbare koordenschaal stemmen hiermee overeen.
Bij de berekening van de hoekwaarden en koorden is uitgegaan van de vermoedelijke lengte van de radii van (afgerond 87,56) mm, 35 mm en 19,5 mm (zie tabel 2).
Waarschijnlijk bestaat een verband tussen de verschillende radii en de schaal van groot en klein bestek zeekaarten (overzeilers). Tussen de lengte van de gelijke vakken en de lengte van de radii is geen verband gevonden.

Pleinschaal Abraham de Graef

In ‘De seven boecken van de groote zeevaert, zevende boek’, eerste hoofdstuk, van Mr. Abraham de Graef, uitgegeven door Pieter Goos in 1658 is een voorbeeld van een pleinschaal opgenomen. (Scheepvaartmuseum  S.4793; 038) Abraham de Graef vermeldt dat voor het maken van een pleinschaal een klein houtje van omtrent een voet lang en anderhalve duim breed gebruikt kan worden. Het is niet bekend of de afbeelding op ware grootte is; de opgemeten lengte in het boek is ca. 227 mm en is verdeeld in 2 gelijke delen van 113,5 mm.

Pleinschaal Abraham de Graef
Abraham de Graef  ‘De seven boecken van de groote zeevaert’ ,1658 (Scheepvaartmuseum Amsterdam)

Maatverdeling

A-B: de 8 kompasstreken of romben/rumben, van links (8) naar rechts (1). De kompasstreken zijn in vieren onderverdeeld. De getekende lengte is ca. 113,5 mm.

C-D: de  koorden van de hoeken van links (90o) naar rechts (0o), verdeeld in tientallen graden en onderverdeeld in graden; de getekende lengte is evenals van de romben ca. 113,5 mm. Hierbij is de radius 113,5 mm :  = ca. 80 mm (3 Amsterdamse duim zou zijn 3 x 25,74 mm = 77,22 mm). Aangehouden is een radius van 80 mm. De lengte van een koorde van hoek α is 2 x sin ½ α x radius. Voor α = 30 graden is dit ca. 0,518 x 80 mm = 41,4 mm. De koorden van de hoeken en streken zijn vermeld in tabel 2.

E-F: de longitude van de lengtegraden ten opzichte van de breedtegraden in Duitse mijlen van 15 in een graad. Genummerd van links: 0 mijl (90o) naar rechts: 15 mijl (equator: 0o). Hiermee wordt het aantal mijlen aangegeven om op een bepaalde breedte φ, in oostelijke of westelijke richting een verschil van 1 lengtegraad  te bereiken. Op een breedte φ is dit cos φ x 15 mijl. Op 60o breedte is dit 0,5 x 15 = 7,5 mijl  (tabel 1, kolom 4).

Voor 1 Duitse mijl (15 Duitse mijl in 1 graad) werd in de 17e eeuw 1900 Rijnlandse roeden aangehouden, dit komt overeen met 7158 m. De lengte van 1 Duitse mijl is later op basis van de aardomtrek van 40.000 km vastgesteld op 7407 m.

G-H: de linie van de gelijke delen (mijlen) van links (100) tot rechts (0) met een verdeling in tientallen en een onderverdeling in mijlen. De opgemeten lengte van 100 mijl is ca. 227 mm, zodat 10 mijl 22,7 mm is. Er is geen verband met de Amsterdamse voet/duim.

I-K : de numerieke logaritmische schaalverdeling van links (100) naar rechts (10) en van 10 tot 1, over een totale lengte van totaal 227 mm, waarvan log 10 het midden is. De lengte van log 1 tot log 10 is 113,5 mm. Deze lengte komt overeen met log 10. Omdat log 10 = 1, is de schaalfactor 113,5. Log 1 is 0;  log 2 is 0,30103 x 113,5 mm = 34,17 mm; log 3: 54,15 mm; log 4: 68,33 mm; log 5: 79,33 mm; log 6: 88,32 mm; log 7: 95,92 mm; log 8: 102,50 mm; log 9: 108,31 mm. De onderstreepte maten zijn berekend.

De verhoudingen in de maatvoering van de tekening  in het boek zijn correct. De hoekwaarde (sinus) is op de afbeelding niet aangegeven.

Andere pleinschalen

De maatvoering van de pleinschaal van ’t  Vliegend Hert’ (Maritiem Museum Vlissingen) en van de pleinschaal M 66-7 in het Zeeuws Museum zijn op een soortgelijke manier beschreven en voor belangstellenden te raadplegen. De radius van de koordenschaal ’t Vliegend Hert is 47 mm. De 3 radii van de koordenschalen van de pleinschaal M 66-7 zijn 75, 30 en 22,5 mm.