Gunterscales en pleinschalen

De voorzijde van een gunterscale wordt soms ‘plane scale’ of plain scale genoemd. Engelse pleinschalen worden echter meestal ‘gunterscales’ genoemd, naar de Engelse uitvinder van de logaritmische schaalverdeling, Mr. Edmund Gunter, omstreeks 1620. Gunterscales zijn op de achterzijde voorzien van logaritmische goniometrische schalen, gunterlines.
De gunterscales K en B dateren vermoedelijk uit eind 18^e eeuw. Een merkteken ontbreekt. De afbeeldingen behoren bij gunterscale K.
De maatverdeling is opgemeten in mm, met liniaal en loupe. De opmeting is tot ca. 0,5 mm nauwkeurig. Deze  maten zijn vergeleken met de berekende maten. Op een enkele uitzondering na (met betrekking tot gunterscale B) is de maatvoering in overeenstemming met de berekende maten.
Behalve gunterscales werden in Engeland ook ‘sectors’ gebruikt,  bestaande uit 2 gelijke beweegbare linialen, met een bout scharnierend verbonden en schaalverdelingen overeenkomend met die van gunterscales (‘A new and complete epitome of practical navigation’, John William Norie, 1839, London).
Sectors hebben het voordeel dat deze geheel opengeklapt kunnen worden en de helft korter kunnen zijn (6 of 12 inch).

Voorzijde

Regel 1: ‘line of lines’, linie van de gelijke vakken. De gebruikelijke aanduiding  ‘Lin’ komt op  gunterscale K en B niet voor. Langs de bovenrand is over de gehele lengte een verdeling van rechts naar links en omgekeerd in 24 gelijke vakken van inches, genummerd 1-24. Elk vak (inch) is in 10 delen verdeeld. Van vak 12-24 is een verdeling in 10 horizontale stroken, met links een half vak en daarin 10  transversalen en rechts een dito heel vak. De nummering van de halve vakken (elk van ½ inch tussen de transversalen is van links naar rechts 1-19.
De opgemeten lengte van gunterscale K en B is resp. ca. 608 en 609 mm, de voorzijde is ca. 40 mm breed en de achterzijde resp. ca. 45 mm en  42 mm.
De berekende lengtematen zijn onderstreept.
1 Engelse inch is 25,4 mm. De lengte van 24 inches of 2 feet is dus 609,6 mm. Vermoedelijk zijn de gunterscales na verloop van tijd ruim 0,5 mm gekrompen. Voor de berekeningen is uitgegaan van de lengte van 609,6 mm (2 feet), met als lengte van een vak 25,4 mm (1 inch).
De linie van gelijke vakken wordt gebruikt om lijnstukken af te passen en verhoudingen van bijv. kaartschalen te bepalen.

Regel 2 (rechts) ‘Lea’, ( leagues)  is rechts op gunterscale K vanaf vak 11 van links naar rechts tot vak 1 verdeeld in 20 gelijke vakken van ½ inch, elk 10 eenheden, genummerd 200-0 en rechts van 1-0 nog een eenheid onderverdeeld in 10 delen om nauwkeurig te kunnen afpassen. Op de schaal van de leagues is 10 leagues ½ inch of 12,7 mm. 1 League is dus 1,27 mm. Op gunterscale B is de verdeling van rechts naar links en overigens identiek. 
De nautical sea league, meestal afgekort met ‘NL’, is 3 Engelse zeemijl of 5559,552 m.
1 Graad op de equator is 20 leagues.
De admirality mile/engelse zeemijl van 60 mijl in een graad, afgekort ‘nm’, ‘sm’,  is 1853,184 m. De Engelse zeemijl  werd algemeen gebruikt. Vanaf 1929 is hiervoor in de plaats gekomen de nautical mile van 1852 m of 1 minuut booglengte.
Op beide gunterscales komen 2 koordenschalen voor, een met een radius van 2 inch en een van 3 inch. Tussen de radius en de maatverdeling van de linie van gelijke vakken bestaat een verband. Op Nederlandse pleinschalen heb ik dit verband niet aangetroffen.
In ‘The Works of James Ferguson, F.R.S.’, 1823, vol. V, blz. 305 is vermeld, dat de radius van de goniometrische functies op Engelse pleinschalen 2 en 3 inch is. De radius van 2 inch en van 3 inch is gelijk aan 1.000 eenheden.

Regel 3 (rechts) ‘Rum’ is de koordenschaal van de 8 rhumbs/streken vanaf rechts 8 naar links 0 met een lengte van 107,76 mm. De radius is 3 inch (76,2 mm).  De lengte van de koorden van de streken is als volgt: 14,94; 29,73; 44,24; 58,32; 71,84; 84,67; 96,68; 107,76 mm (zie tabel 2). Op streek 0 is een voetpunt voor een kaartpasser. 1 streek is 11 ¼ ^o.

Regel 3 (midden, vanaf vak 12 van de inches) ‘Rum’: betreft de rhumbs/streken, dit is de koordenschaal van de 8 points/streken van streek 1 (11,15^o) tot streek 8 (90^o). De radius is 2 inch (50,8 mm). De lengte van de koorden van de streken vanaf 0^o  is resp. 9,96; 19,81; 29,51; 38,86; 47,90; 56,44; 64,47; 71,80 mm (zie tabel 2). Op 0^o is een voetpunt.

Op regel 3 van de koordenschaal van de streken ’Rum’ is rechts daarvan een schaal ‘L’  van mijlen in vakken van 10 tot 100 mijl (gunterscale K), met links van 0 nog een vak onderverdeeld in 10 delen (van 1 mijl) om nauwkeurig te kunnen afpassen. 1 mijl ‘L’ is volgens opmeting ca. 0,85 mm. Voor 10 mijl is te rekenen met 8,466 mm of 1/3 inch. Op 100 mijl is een voetpunt.

Regel 4 (midden) ‘Cho’: betreft de chords/koorden van de hoeken van 0^o-90^o. De radius is 50,8 mm of 2 inch. De berekende lengte van de koordenschalen is √2 x 50,8 mm = ca 71,8 mm. De maatverdeling in tientallen vanaf  0^o is resp. 8,84; 17,63; 26,31; 34,75; 42,94; 50,80;  58,27; 65,28; 71,84 mm (zie tabel 2). Voorbeeld: koorde 50^o  is 845,23 : 1000. De lengte op de gunterscale is 0,84523  x 50,8 mm = 42,94 mm. Op 0^o is een voetpunt.

Op regel 4 (midden) ’Cho’ van de koorden van de graden  is rechts daarvan een schaal ’P’  van mijlen van 0 tot 10, lengte 50,8 mm, met links van 0 nog een vak van 1 mijl  onderverdeeld in 5 delen (van 1/5 mijl) om nauwkeurig te kunnen afpassen. De lengte van de ‘P’ schaal is gelijk aan de radius van 2 inch. De schaal ’P’ is 1 mijl op 0,2 inch, dit is 5,08 mm.

Regel 5 (midden) ‘Sin’: betreft de sinus ‘hoekwaarden’ van 0^o-90^o. De  maatverdeling vanaf 0^o  in tientallen is resp. 8,81; 17,37; 25,40; 32,65; 38,91; 43,99; 47,74; 50,03; 50,80 mm (zie tabel 2). Voor het afpassen van de radius is op 0^o  en 90^o een voetpunt. De getallen 80 en 90 zijn niet aangegeven.

Op regel 5 (midden) van de sinus is rechts daarvan een schaal ‘S’ (‘Se’ gunterscale B) van 0^o (vanaf het voetpunt van de radius of sinus 90^o) tot 70^o. Het betreft de ‘secant’, die begint waar de sinus van 90^o eindigt. Dit is het gedeelte van de secans buiten de radius van 1000 eenheden. Het getal 70 is niet aangegeven.
De maatverdeling in tientallen van 0^o-70^o  is als volgt: van 0^o-10^o : 0,78; van 0^o-20^o: 3,26; van 0^o-30^o: 7,86; van 0^o-40^o: 15,51; van 0^o-50⁰: 28,23; van 0^o-60^o: 50,80;  van 0^o-70^o: 97,73 mm (zie tabel 3). De lengte van 0^o-60^o is gelijk aan die van de radius van 2 inch of 50,8 mm. Voorbeeld: ‘Se’ 30^o  = 1154,70 – 1000 = 154,70; de radius is 50,8 mm, dus de lengte van ‘Se’ 30^o  = (154,70 : 1000) x 50,8 mm = 7,86 mm. De maatverdeling is ook te berekenen uit de vergelijking sinus versus α : cos α.

Regel 4 (rechts) ‘M L’ of ‘Lon’ (Miles of longitude/line of longitudes: geeft het aantal mijlen, oost of west aan dat overeenkomt met 1 graad lengte (longitude) op een bepaalde breedte (latitude). De linie is aangebracht boven de linie van de koorden met een radius van 3 inch en is hierop afgestemd. (‘A treatise on mathematical instruments’, J.F. Heather M.A., 1849)  De lengte van 0-60 mijl is gelijk aan de linie van de koorde van 90^o, waarbij 0^o overeenkomt met 60 mijl en 90^o met 0 mijl (zie regel 5).
Met ‘M L’ wordt het aantal mijlen aangegeven om op een bepaalde breedte, een verschil van 1 lengtegraad  te bereiken. De lengte van 1^o  op de equator is 60 mijl en bijv. op een breedte van 60^o  is 1 lengtegraad cos 60 ^ox 60 mijl = 30 mijl. Deze linie werd gebruikt voor platte kaarten.
De totale lengte van de schaal van 107,76 mm is gelijk aan die van de koordenschaal van de hoeken en streken. De radius is hierbij 3 inch (76,2 mm). De schaal is van rechts (0) tot links (60) verdeeld in mijlen en 10 tallen mijlen als volgt: van 60-50 mijl: 43,99;  van 60-40 mijl: 62,22; van 60-30 mijl: 76,2; van 60-20 mijl: 87,99; van 60-10 mijl: 98,38; van 60-0 mijl: 107,76 mm (zie tabel 1, kolom 6).
Voorbeeld: van 60 mijl (0^o)- 50 mijl (33,558^o)  is de koorde/lengte R x (2 sin ½ . 33,558 ^o) = 76,2 mm x 0,5774 = 43,99 mm.
Op 60 (mijl) is een voetpunt. Op Nederlandse pleinschalen komt deze functie niet altijd voor.

Regel 5 (rechts) ‘Cho’: vanaf de rechterzijde is een koordenschaal van de hoeken van rechts 90^o tot links 0^o, met een opgemeten lengte van ca. 108 mm. Op 0^o en 60^o is een voetpunt. De radius is 3 inch, dit is 76,2 mm. De lengte van de koordenschaal moet gelijk zijn aan √2 x de radius, dit is √2 x 76,2 mm = 107,76 mm.
De  lengte van de koorden van de hoeken van 0^o-90^o in tientallen vanaf 0^o is als volgt: 13,28; 26,46; 39,44; 52,12; 64,41; 76,20; 87,41; 97,96; 107,76 mm (zie tabel 2).

Regel 6 (midden) ‘Tan’: betreft de tangens van 0^o– 80^o. De maatverdeling links vanaf 0^o naar rechts tot 80^o In tientallen is resp. 8,96; 18,49; 29,33; 42,63 60,54; 87,99; 139,57; 288,10 mm (zie tabel 2). Voorbeeld: tangens 60^o is 1732,05: hierbij is de lengte (1732,05 : 1000) x 50,8 mm = 87,99 mm. Op 0^o  is een gemeenschappelijk voetpunt met regel 7, ‘ST’

Regel 7 (midden) ’ST’ : betreft de semi tangent van 10^o-160^o. Betreft de tangens van de halve boog/hoek, zodat bijv. ST 100 ^o overeenkomt met Tan 50 ^o. De maatverdeling vanaf 10^o tot 180 ^o van de oneven tientallen is resp. 4,44; 13,61; 23,69; 35,57; 50,80; 72,55; 108,94; 189,59 mm.

Achterzijde

De achterzijde is over de gehele lengte in 8 regels/linies verdeeld: (1) SRum, (2) Rum, (3) Num, (4) Sin, (5) STn, (6) Tan, (7) Mer, (8) EP. Op gunterscale B is linie 5 aangeduid met Vs. In verband met de afstand van de kantlijn tot het uiteinde van een gunterscale van 24 inches is de bruikbare lengte voor logaritmeschalen ca. 22 tot 23 inch (zie ‘A complete epitome of practical navigation’, door John William Norie, 1839).

De schaal van de logaritmische functie is gebaseerd op de schaal van de gelijke delen en is tevens de schaal van alle logaritmische functies. ( Philosophical Transactions: ‘The Construction of the logarithmic lines on the gunterscale’, door John Robertson, 1753). Deze verhouding of modulus heb ik schaalfactor genoemd.
De opgemeten/berekende schaalfactor/modulus van gunterscale K en B is resp.  ca. 286,6 mm of 11,28346457 inch en 287,05 mm of 11,30118 inch . Het ligt voor de hand dat een (eenvoudiger) schaalfactor is gekozen, gerelateerd aan de inch. Ferguson vermeldt dat de gunterscale (numbers) van 2000 eenheden 22,6 inch lang is (‘The Works of Ferguson‘, blz. 306), zodat 1000 eenheden overeenkomen met 11,3 inch of 287,02 mm. Voor de berekeningen is uitgegaan van de schaalfactor van 11,3 inch of 287,02 mm (zie regel 3, ‘Num). Een andere ‘logische’ schaalfactor zoals 11 ¼ inch (285,75 mm) wijkt te veel af van de hierna opgemeten/berekende schaalfactoren.

Regel 1 ’SR’ (Sine rumbs): betreft de log sinus van de chords/koorden van de points/streken vanaf rechts 8 tot links 1. Log sin 1 is 0,70976. De opgemeten/berekende lengte van streek 1 tot streek 8 is 203,5 mm. De schaalfactor is hierbij 203,5/0,70976 = 286,7. Aangehouden is 287,02, overeenkomstig de schaalfactor van de numerieke logaritmeschaal van regel 3. Op basis hiervan zijn de lengtematen van de koorden van de streken berekend (zie tabel 4). Op streek 8 is een voetpunt.

Regel 2 ‘Rum’, (meestal aangeduid ‘Trumb’: Tangent rumbs): betreft de log tangens van de koorden vanaf rechts  4; 3/5; 2/6 tot links 1/7. De log tangens van de koorde 1/7 is 0,70134. De opgemeten/berekende lengte van streek 1/7 tot streek 4 is 201 mm. De schaalfactor is hierbij 201/0,701,34 =286,6 mm. Aangehouden is 287,02 mm, overeenkomstig de schaalfactor van de numerieke logaritmeschaal van regel 3. Op basis hiervan zijn de koorden van de streken berekend (zie tabel 4).

Regel 3 ‘Num’ (Numberline): betreft 2 opeenvolgende gelijke logaritmische schaalverdelingen van links naar rechts 1-10 en van 10 tot 100, met 10 in het midden van de linie. Op ca. 17,8 mm van de linkerkant is log 1 en op ca. 17 mm van de rechterkant log 10(0) aangegegeven. De opgemeten/berekende lengte van één logaritmische schaal is hierbij (608,0 mm – 34,8 mm) : 2 = 286,6 mm. Van gunterscale B is dit 287,05 mm. Aangehouden is 287,02 mm. Deze lengte komt overeen met log 10. De lengtematen vanaf log 1 tot en met  log 10 zijn berekend door vermenigvuldiging van de log met de factor 287,02.  Log 1: 0; log 2: 86,40;  log 3: 136,94; log 4: 172,80;  log 5: 200,62; log 6: 223,34; log 7: 242,56; log 8: 259,20; log 9: 273,89; log 10: 287,02 mm. De verdeling op de linkerschaal is in 1/10 logdelen; de rechterschaal is in 1/50, 1/25, 1/20 en 1/10 delen. Op gunterscale B ontbreekt deze  onderverdeling in logdelen. Op log 1, log 10 en log 100 is een voetpunt. Log 12 is aangegeven voor berekeningen in voeten en duimen. Op gunterscale B is op log 12 een voetpunt.
Evenals met rekenlinialen, die tot ca. 1970 werden gebruikt, kunnen met behulp van de logartitmische schaal (driehoeks)berekeningen snel worden uitgevoerd. Op  gunterscales worden hiervoor passers gebruikt.

Regel 4 ‘Sin’(Sinesline): betreft de log sinus, vanaf rechts 90^o tot links 1^o, over de opgemeten/berekende lengte van 503,8 mm. Deze lengte komt overeen met  log sin 1^o = 1,75814. De overige waarden kunnen worden gevonden door de log sin te vermenigvuldigen met de schaalfactor 503,8/1,75814 = 286,6. Aangehouden is 287,02 overeenkomstig de schaalfactor van de numerieke logaritmeschaal van regel 3 (zie tabel 4).
De verdeling van 1^o-10^o is in 10 min.; van 10^o-20^o in 15 min.; van 20^o-40 ^o in 30 min.; vanaf 40^o in graden. Op gunterscale B ontbreekt deze onderverdeling.
Op 90^o is een voetpunt.

Regel 5 ‘STn’(Secant): in the Works of James Ferguson is een tabel opgenomen die overeenkomt met de waarden op de gunterscales  B en K. Deze tabel genaamd ‘Gunter’s Line of Versed Sines’ (blz. 299-300) is niet de huidige log sinus versus, maar betreft 2 log secans ½ α (‘The versedsines are double the logatihmic secants of half the given number of degrees’, Ferguson, blz 317). Op gunterscale B is deze regel als ‘Vs’ (Versed sines/versin) aangeduid en betreft eveneens 2 log secans ½ α. De betreffende functie is STn α = secans² ½ α. De relatie met de sinus versus/versin is de volgende:
Vs hierna ‘STn’ genoemd, kan worden omgezet als volgt: 2 log secans ½ α  = 2 log (1 : cos ½ α). Omdat cos ½ α = +-√½ (1 + cos α) is  STn α = 2 log [(1 :  √½ (1 + cos α)]. Omdat n log x = log xⁿ  is STn α = log [1 : √½ (1+ cos α)]² = log 2 : (1 + cos α).  [A]
Omdat log x (voor x > 1) gelijk is aan min log 1 : x (voor 1 : x <1)  is STn α =  log 2 : (1 + cos α)  [A] gelijk aan min log ½ (1 + cos α). [B]
Resumerend:  STn α = 2 log secans ½ α = log 2 : (1 + cos α) = – log ½ (1 + cos α). Vergelijking B is afgeleid van STn α = log 1 – ½ versin of log 1 – sin² ½ α.
½ Versin wordt meestal haversine genoemd.
De versin α <90 ^o = 1 – cos α en de versin α >90 ^o = 1 + cos α of 2 sin²  ½ α.
De tafels van de sinus versus en log sinus versus van Joannes Douwes (1776) worden gebruikt bij astronomische plaatsbepaling en azimuthberekeningen.
STn van 165^o is volgens de tabel van Ferguson 1,7686. Deze waarde komt overeen met de opgemeten/berekende lengte op gunterscale K van 506,8 mm. De factor waarmee de waarden van STn vermenigvuldigd moeten worden is dus 506,8/1,7686 = 286,6. Op gunterscale B is deze waarde berekend op 286,72. Aangehouden is 287,02 overeenkomstig de schaalfactor van de numerieke logaritmeschaal van regel 3. Op basis hiervan zijn vanaf 0^o tot 168^o de lengtematen in mm berekend. Voorbeeld: log STn α  = 2 log secans ½ α; log STn 60^o= 2 log secans 30^o= 2 log 1,15470 =  0,12493; dit is in de tabel 124,93. De lengte is hierbij 287,02 x 0,12493 = 35,86 mm (zie tabel 3).

Regel 6 ‘Tan’( Tangentline); betreft de log tangens vanaf rechts (45^o) tot links (1^o) over de opgemeten/berekende lengte van 503,8 mm. Deze lengte komt overeen met de waarde van  log tangens 1^o = 1,758078. De overige lengtematen kunnen worden gevonden door de log tangens te vermenigvuldigen met de factor 503,8/1,758078 = 286,666. Aangehouden is 287,02 overeenkomstig de schaalfactor van de numerieke logaritmeschaal van regel 3 (zie tabel 4).
Deze tangentline betreft the lower tangent van 45^o tot 0^o. The upper tangent is van 45^o  tot meestal 76^o (‘The works of James Ferguson, F.R.S.’, 1823,  vol. V, blz. 308). Op 45^o  is een voetpunt.

Regel 7 ‘Mer’ (line of meriodional parts): betreft de vergrotende/wassende breedte op de meridiaan ten opzichte van de aangegeven lengte van een graad op de equator. Elk vak van 10^o is verdeeld in halve graden en vanaf 60^o in kwart graden. De schaal loopt van 0^o tot 85^o Het getal 85 is niet aangegeven. Op 0^o is een gemeenschappelijk voetpunt met ‘EP’ en is daaraan gekoppeld. Gebruikt voor zeekaarten met Mercatorprojectie (zie tabel 1). De lengte van het vak van 0 ^o tot 10^o graden is gelijk aan de lengte van het rechter vak van ‘EP’. Deze lengte is 29,842 mm en op gunterscale B ca. 30,33 mm (zie regel 8).
Voorbeeld gunterscale K: Op de breedte van 70^o is de wassende breedte 59660 (tienden van minuten): 600 = 99,433^o. De lengte op gunterscale K is 99,433 x 2,9842 = 296,7 mm (gemeten 297 mm). De waarden van ‘Mer’ zijn op gunterscale B  gelijk aan die op gunterscale K. Op gunterscale B wijken de opgemeten lengtematen van ‘EP’ echter sterk af van de berekende waarden.

Voorbeelden gunterscale B:
Op de breedte van 70^o is de wassende breedte 59660 (tienden van minuten): 600 = 99,433^o. De lengte op gunterscale B is 99,433 x 3,033 mm = 301,6 mm (gemeten 296,5 mm).
Op 80 ^o is de wassende breedte 83753 : 600 = 139,59^o. De lengte op gunterscale B is 139,59 x 3,033 mm = 423,37 mm (gemeten 416,5 mm).
Voor ’EP’ 10^o is voor gunterscale B aangehouden 29,842 mm, in plaats van 30,33 mm (zie hierna).

Regel 8 ‘EP’ (line of equal/equatorial parts): betreft de lengte van de graden op de equator. Op regel ‘EP’ kan de vergrotende breedte van ‘Mer’ met een passer worden uitgezet, zodat de vergrotende breedte in mijlen ten opzichte van de equator kan worden bepaald. Op soortgelijke wijze kan het verschil in mijlen tussen breedtegraden worden bepaald (‘An introduction to the theory and practice of plane and spherical trigonometry’, door Thomas Keith, 1810).
1^o komt overeen met 60 zeemijl of 20 leagues. Er zijn 18 vakken van 10 ^o, van rechts 0 ^o -180 ^o met rechts nog een extra  19^e vak, met het gemeenschappelijk voetpunt van ‘Mer’. De lengte van de 19 vakken is ca. 567 mm, zodat een vak van 10^o ca. 29,842 mm is.
Op gunterscale B is de lengte van de 19 vakken echter ca. 576 mm, zodat een vak van 10^o ca. 30,33 mm is. Deze lengte van 30,33 mm correspondeert niet met de berekende/opgemeten lengte van regel 7.

Regel 7 is juist en regel 8 is op gunterscale B onjuist.
Een eenvoudig verband van ‘EP’ met de mijlenschalen op de voorzijde is niet gevonden. De lengte van 100 graden van de linie ‘EP’ van gunterscale K zou  298,42 mm zijn.