Voorbeelden Nederlandse pleinschalen

Pleinschaal Symon vande Moolen

Symon vande Moolen vermeldt in ‘Klaare beschrijvingh over het maken en gebruyk der nieuwe pleyn-schaal’, in 1699, dat de pleinschaal werd gebruikt in de ‘astromia, geometria, gnomonica (zonnewijzertechniek), fortificatie, bosschieterij en in het bijzonder in de navigatie.’ Scheepvaartmuseum Amsterdam, inv. nr.  S. 4793; MK-0605.

De pleinschaal is een houten plankje van ongeveer 1 voet lang en 1 ½ duim breed en is verdeeld in 11 gelijke delen en aan elk einde is een deel  ‘van ontrent een duim’ gedeeld in 10 delen en door de schuine strepen in 100 gelijke delen om roeden, voeten, duimen, mijlen enz. af te passen en aan  het andere eind in 60 gelijke delen om minuten af te afpassen.

De afbeelding van de pleinschaal is vanwege de lengte 2 x gevouwen. De lengte van de schaalverdeling is ca. 250 mm, de breedte is ca. 62 mm. De opmetingen zijn op 0,5 mm nauwkeurig. Vermoedelijk is de afbeelding in het boekje op ware grootte afgedrukt. Vanwege de vouwen en de mogelijke krimp van het papier zijn de opmetingen en daarvan afgeleide berekeningen van een beperkte nauwkeurigheid.

Pleinschaal Scheepvaartmuseum Amsterdam
Symon Vande Moolen ‘Klaare beschrijvingh over het maken en gebruyk der nieuwe pleyn-schaal’, 1699 (Scheepvaartmuseum Amsterdam).

Maatverdeling

Bovenste regel: de gelijke delen/vakken. De verdeling is in 22 gelijke vakken, waarvan 13 genummerd. Aan weerszijden zijn enkele vakken met transversalen, links in 100ste delen en rechts in 60ste graden (minuten). De verdeling van de gelijke vakken is te gebruiken om de koers en verheid (afstand) af te passen of om mijlen, graden, roeden of voeten grafisch te bepalen.
De lengte van 1 vak ca. is 250 : 22 = ca. 11,36 mm is. De lengte van de 5 vakken aan de uiteinden is ca. 57 mm, waarbij de lengte van 1 vak 11,4 mm is. Over 10 vakken in het middendeel is als lengte gemeten 113,5 mm, waarbij de lengte van 1 vak 11,35 mm is. Deze lengte is hierna aangehouden. De nummering van de vakken is van 1 tot 13 en in tegengestelde richting van 13 tot 1. De verdeling van de pleinschaal over de gehele lengte is in 22 vakken, in plaats van de door Vande Moolen genoemde 11 delen. De delen zoals Vande Moolen die noemt, van ‘ontrent een duim’, zijn dus ca. 22,7 mm lang. Dit is te klein voor de lengte van een duim (Rijnlands 26,16 mm; Amsterdams 25,74 mm) De maat van de gelijke vakken is vermoedelijk willekeurig.

Regel 1 en regel 2: de vergrotende/wassende breedte is onder de verdeling van de gelijke vakken aangegeven. Regel 1 van 60o tot 83o, regel 2 van 0o tot 64o.
Vande Moolen beschrijft een grafische manier om de vergrotende breedte op een pleinschaal over te brengen. Hierbij wordt de gekozen lengte van een graad (op de equator) afgepast op de halve middellijn/radius van een ‘vierendeel rond’, zoals Vander Moolen een kwartcirkel of kwadrant met een bepaalde radius noemt. De lengte van de lijn die een hoek maakt met de verticaal vanuit een graad op de halve middellijn is de snijlijn/secans of vergrotende breedte van de hoek. In plaats van deze grafische methode is vermoedelijk gebruik gemaakt van de tafels van de wassende breedte. Voor de pleinschaal kan de wassende breedte in 10den van minuten worden omgerekend in mm’ s naar de lengte van 2,91857 mm per graad (zie regel 3). Voorbeeld: wassende breedte 35o is 22443 tienden van minuten, dit is 22443 : 600 = 37,405o De lengte op de pleinschaal is 37,405 x 2,91857 mm = 109,17 mm (zie tabel 1)

Regel 3: betreft de lengteschaal van de graden op de equator van 0o tot 70o . De lengte van het eerste vak van 10 graden is in 10 delen verdeeld van elk 1o, zodat in graden of delen ervan kan worden afgepast. Volgens Vande Moolen is afpassen in 3e, 4e of 5e delen van een graad mogelijk.
Op de pleinschaal komt de lengte van 18 vakken van de maatverdeling van de gelijke vakken overeen met 70 graden lengte op de equator. De lengte van 1 graad op de pleinschaal (of 15 Duitse mijl) is 18 x 11,35 mm : 70 = 2,91857 mm. Een vak van 11,35 mm komt hierbij overeen met 58,3333 Duitse mijl.
Conclusie : Er is geen verband tussen de lengte van de graden en de lengte van de gelijke vakken.

Regel 4: de koorden van de uren van 0 tot 6 uren, elk uur 15o, met een verdeling in kwart uren.

Regel 5: de koorden van de streken van 0 tot 8 streken, elke streek 11 ¼o met een verdeling in kwart streken.

Regel 6: de koorden van 0o tot 90o, met een verdeling in graden.

Regel 7: de hoekmaten (sinuswaarde) van 0tot 90o.

Regel 8: de hoekmaten op streken van 0 tot 8, met een verdeling in kwart streken.

Regel 9: de hoekmaten op uren, met een verdeling in kwart uren.

Regel 4 tot en met regel 9 hebben betrekking op de koordenschaal met een grote radius. De opgemeten lengte van deze radius is 87 mm en van de uren, streken, en koorden 123 mm. De lengte van de uren- streken- en koordenschaal moet zijn √2 x 87 mm of 123,04 mm. De radius komt hierbij overeen met ca. 447,15 Duitse mijl.
De lengte van de radius op de tekening van de pleinschaal valt exact samen met 30 graden op de lengteschaal, waarbij de radius 30 x 2,91857 mm = 87,5571 mm is (in plaats van 87 mm). Hierbij wordt de lengte van de uren- streken- en koordenschaal √2 x 87,5571 mm = 123,8 mm. De radius van 87,5571 mm komt dan overeen met 30 graden of 450 Duitse mijl. In dat geval is er dus een verband tussen de radius en de schaal van de kaart (de lengtegraad op de equator).

Naast deze grote radius van de koordenschaal zijn op de pleinschaal nog 2 verschillende koordenschalen aangegeven, een met een middelbare en een met een kleine radius.
De middelbare radius is 34,5 mm en de lengte van de daarbij behorende uren- streken- en koordenschaal 49 mm. Hierbij is de radius ca. 177 Duitse mijl. Indien wordt uitgegaan van een radius van 35 mm komt de radius overeen met ca. 180 Duitse mijl.
De koordenschaal met de kleine radius is met transversalen van 0o tot 90o en een strekenschaal van 8 streken aangebracht.
De radius van de kleine koordenschaal is 27 mm : √2, dit is 19,09 mm . Hierbij is de radius ca. 98 Duitse mijl. Indien uitgegaan wordt van een radius van 19,5 mm is deze ca. 100 Duitse mijl.
De vermoedelijke verhouding tussen de grote, middelbare en kleine koordenschaal is 450 : 180 : 100 of 7,5 : 3,0 : 1,67. Op andere Nederlandse pleinschalen komt een verhouding voor van 7,5 op 3. De verhoudingen van de radii van de grote en middelbare koordenschaal stemmen hiermee overeen.
Bij de berekening van de hoekwaarden en koorden is uitgegaan van de vermoedelijke lengte van de radii van (afgerond 87,56) mm, 35 mm en 19,5 mm (zie tabel 2).
Waarschijnlijk bestaat een verband tussen de verschillende radii en de schaal van groot en klein bestek zeekaarten (overzeilers). Tussen de lengte van de gelijke vakken en de lengte van de radii is geen verband gevonden.

 

Pleinschaal Abraham de Graef

In ‘De seven boecken van de groote zeevaert, zevende boek’, eerste hoofdstuk, van Mr. Abraham de Graef, uitgegeven door Pieter Goos in 1658 is een voorbeeld van een pleinschaal opgenomen. (Scheepvaartmuseum  S.4793; 038) Abraham de Graef vermeldt dat voor het maken van een pleinschaal een klein houtje van omtrent een voet lang en anderhalve duim breed gebruikt kan worden. Het is niet bekend of de afbeelding op ware grootte is; de opgemeten lengte in het boek is ca. 227 mm en is verdeeld in 2 gelijke delen van 113,5 mm.

Pleinschaal Abraham de Graef
Abraham de Graef  ‘De seven boecken van de groote zeevaert’ ,1658 (Scheepvaartmuseum Amsterdam)

Maatverdeling

A-B: de 8 kompasstreken of romben/rumben, van links (8) naar rechts (1). De kompasstreken zijn in vieren onderverdeeld. De getekende lengte is ca. 113,5 mm.

C-D: de  koorden van de hoeken van links (90o) naar rechts (0o), verdeeld in tientallen graden en onderverdeeld in graden; de getekende lengte is evenals van de romben ca. 113,5 mm. Hierbij is de radius 113,5 mm :  = ca. 80 mm (3 Amsterdamse duim zou zijn 3 x 25,74 mm = 77,22 mm). Aangehouden is een radius van 80 mm. De lengte van een koorde van hoek α is 2 x sin ½ α x radius. Voor α = 30 graden is dit ca. 0,518 x 80 mm = 41,4 mm. De koorden van de hoeken en streken zijn vermeld in tabel 2.

E-F: de longitude van de lengtegraden ten opzichte van de breedtegraden in Duitse mijlen van 15 in een graad. Genummerd van links: 0 mijl (90o) naar rechts: 15 mijl (equator: 0o). Hiermee wordt het aantal mijlen aangegeven om op een bepaalde breedte φ, in oostelijke of westelijke richting een verschil van 1 lengtegraad  te bereiken. Op een breedte φ is dit cos φ x 15 mijl. Op 60o breedte is dit 0,5 x 15 = 7,5 mijl  (tabel 1, kolom 4).

Voor 1 Duitse mijl (15 Duitse mijl in 1 graad) werd in de 17e eeuw 1900 Rijnlandse roeden aangehouden, dit komt overeen met 7158 m. De lengte van 1 Duitse mijl is later op basis van de aardomtrek van 40.000 km vastgesteld op 7407 m.

G-H: de linie van de gelijke delen (mijlen) van links (100) tot rechts (0) met een verdeling in tientallen en een onderverdeling in mijlen. De opgemeten lengte van 100 mijl is ca. 227 mm, zodat 10 mijl 22,7 mm is. Er is geen verband met de Amsterdamse voet/duim.

I-K : de numerieke logaritmische schaalverdeling van links (100) naar rechts (10) en van 10 tot 1, over een totale lengte van totaal 227 mm, waarvan log 10 het midden is. De lengte van log 1 tot log 10 is 113,5 mm. Deze lengte komt overeen met log 10. Omdat log 10 = 1, is de schaalfactor 113,5. Log 1 is 0;  log 2 is 0,30103 x 113,5 mm = 34,17 mm; log 3: 54,15 mm; log 4: 68,33 mm; log 5: 79,33 mm; log 6: 88,32 mm; log 7: 95,92 mm; log 8: 102,50 mm; log 9: 108,31 mm. De onderstreepte maten zijn berekend.

De verhoudingen in de maatvoering van de tekening  in het boek zijn correct. De hoekwaarde (sinus) is op de afbeelding niet aangegeven.

Andere pleinschalen

De maatvoering van de pleinschaal van ’t  Vliegend Hert’ (Maritiem Museum Vlissingen) en van de pleinschaal M 66-7 in het Zeeuws Museum zijn op een soortgelijke manier beschreven en voor belangstellenden te raadplegen. De radius van de koordenschaal ’t Vliegend Hert is 47 mm. De 3 radii van de koordenschalen van de pleinschaal M 66-7 zijn 75, 30 en 22,5 mm.