Introductie
Gunterscales en pleinschalen zijn de voorlopers van rekenlinialen, waarmee lastig en tijdrovend rekenwerk snel kan worden uitgevoerd. De werking en het gebruik van rekenlinialen is bij de oudere generatie nog bekend; gunterscales en pleinschalen zijn echter al meer dan een eeuw geleden in de vergetelheid geraakt. Gunterscales en pleinschalen zijn nu zeldzame verzamelitems geworden en soms van historische waarde.
Dit artikel is bedoeld om de maatvoering van gunterscales en pleinschalen te kunnen controleren op onnauwkeurigheden of fouten. Bij de koop en het gebruik van een onjuiste pleinschaal of gunterscale zal dit niet zoals in het verleden tot een scheepsramp leiden vanwege een verkeerd berekende koers, maar het is wel een miskoop.
Voor doorzetters biedt de informatie de mogelijkheid zelf een gunterscale of pleinschaal te maken; de tabellen kunnen verder verfijnd worden in minuten.
Pleinschalen algemeen
Pleinschalen zijn linialen, meestal ongeveer 1 voet (ca. 300 mm) lang en 1 ½ duim (ca. 35 mm) breed, met maatverdelingen van o.a. goniometrische functies om driehoeksberekeningen uit te voeren. Pleinschalen kunnen worden beschouwd als de voorlopers van rekenlinialen. Parallellinialen, om lijnen evenwijdig uit te zetten, worden soms ook pleinschalen genoemd, vermoedelijk omdat pleinschalen soms voorzien zijn van rollers als parallelliniaal. (‘A treatise on mathematical instruments’, blz. 34, door J.F. Heather M.A., 1849).
Pleinschalen werden vooral in de scheepvaart gebruikt om grafisch de positie en de koers te bepalen en om analytische berekeningen op grove fouten te controleren. Aan boord van Nederlandse schepen werd een lengte van ca. 1 voet van een pleinschaal als het meest handzaam beschouwd. Op Nederlandse pleinschalen ontbreken meestal logaritmische goniometrische functies. Op Engelse pleinschalen met een lengte van 2 voet zijn meestal wel logaritmische goniometrische functies aangegeven. Deze pleinschalen worden gunterscales genoemd.
Meestal werd voor een pleinschaal Buxus (palmhout/boxwood) gebruikt, dat een bijzonder fijne houtstructuur heeft, zodat een nauwkeurige maatverdeling mogelijk is.
Om te voorkomen dat door het afmeten met de scherpe punten van passers een pleinschaal wordt beschadigd, zijn op de meest gebruikte meetpunten messing voetpuntjes aangebracht.
Nederlandse en Engelse pleinschalen hebben op de voorzijde altijd een linie van gelijke vakken, Engelse pleinschalen in vakken van inches en halve inches. Enkele vakken van deze eenheden zijn verdeeld in 10 horizontale regels met daarin transversalen, dit zijn diagonale lijnen, zodat lijnstukken nauwkeurig kunnen worden afgepast. De door mij opgemeten Nederlandse pleinschalen zijn in vakken verdeeld met een lengte die niet gebaseerd is op duimen of voeten en willekeurig lijkt. Een mogelijke reden is dat een algemeen geaccepteerde standaard voetmaat in de toenmalige Republiek ontbrak.
In de scheepvaart werd de koers aangegeven in streken, waarbij de windroos is verdeeld in 32 streken, elke streek is 11 ¼ graad. Ook bestaat een koersaanduiding in uren; de windroos is hierbij in 24 uren verdeeld, elk uur is 15 graden en 4 minuten is 1 graad. Afstanden werden in mijlen aangegeven: in de Republiek in Duitse mijlen van 15 in een lengtegraad (op de equator), in Engeland 60 mijl en in Spanje en de Zuidelijke Nederlanden 17 ½ mijl.
De maatvoering van een pleinschaal is gebaseerd op een kwartcirkel (kwadrant), met een bepaalde radius. Een kwadrant kan uitgebreid worden tot een halve cirkel of een gehele cirkel. Op een kwadrant worden de goniometrische functies grafisch aangebracht, zodat de koorden van de hoeken en van de streken en de hoekwaarden (sinus), de tangenten, de secanten, enz. met een kaartpasser op een te maken pleinschaal kunnen worden overgebracht. Zowel het construeren van een kwadrant als het overbrengen van de lijnstukken op een pleinschaal is een bijzonder lastig precisiewerk.
Een koorde is de grafische maat van een hoek. Ptolomaeus heeft tussen 90–168 na Chr. al een koordentafel samengesteld. Belangrijke eigenschappen van een koorde zijn dat de koorde van 60o gelijk is aan de radius en dat een koorde gelijk is aan 2 x sin halve hoek. Daarbij is de koorde van 90o gelijk aan de radius x √2.
Niet alle pleinschalen zijn nauwkeurig en soms is de maatverdeling zelfs onjuist, zoals van de logaritmische schaal van de pleinschaal uit het wrak van de Hollandia. Over de maatvoering van Engelse pleinschalen (gunterscales) merkt William Mountaine in 1778 op, dat bij het copieren na verloop van tijd soms fouten in de fabricage zijn geslopen. De schaalverdeling van de functies is bovendien vaak onvoldoende gedetailleerd. (‘A description of the lines drawn on gunter’s scale, as improved by Mr. John Robertson’). Ook een van de maatverdelingen van de hierna beschreven gunterscale B is vrijwel zeker onjuist en de maatverdeling van de logaritmische functies op de achterzijde is erg summier.
Vanaf de 17e eeuw werd gebruik gemaakt van goniometrische en logaritmische tabellen. Deze goniometrische tabellen zijn gebaseerd op een radius van 1.000 en later 100.000 of 1.000.000 eenheden. Decimalen werden hiermee vermeden. Op basis van de tabellen kunnen de koorden, sinussen, tangenten, secanten, enz., nauwkeurig op een te maken pleinschaal worden uitgezet, zonder gebruik te maken van een kwadrant.
Op Nederlandse pleinschalen werden 2 of 3 kwadranten gebruikt met verschillende radii, een grote, middelbare en kleine radius, zodat meerdere koordenschalen voorkomen. Een verband tussen de radii en de gelijke vakken ontbreekt. Mogelijk bestaat er een verband tussen de radius en de schaal van de zeekaarten. Hiernaar wordt nog onderzoek verricht.
Op de achterzijde van Nederlandse pleinschalen zijn in het algemeen goniometrische functies aangegeven van de sinus en de tangens. Soms is ook een numerieke logaritmische schaal aangebracht om rekenwerk te vergemakkelijken.
De functie en maatvoering van een tweetal Engelse pleinschalen (gunterscales K en B) en drie voorbeelden van Nederlandse pleinschalen worden hierna beschreven. De tabellen zijn beperkt tot graden. Op pleinschalen en gunterscales komt een verdeling in minuten en/of tientallen minuten voor.